Bir Lie cebrinin ek temsili

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Şablon:Lie groups

matematik'te, ek içbiçimi veya ek hareket Lie cebiri'nin teorisinin geliştirilmesinde temel bir rol oynayan bu Lie cebiri'nin bir homomorfizmidir.

Bir \mathfrak{g} Lie cebirinin verilen bir ögesi x ve x'ın ek hareketi \mathfrak{g} haritası ile \operatorname{ad}_x :\mathfrak{g}\to \mathfrak{g} ile ek gösterim tanımlanır

\operatorname{ad}_x (y) = [x,y]

\mathfrak{g} içindeki bütün y için.

\operatorname{Ad} kavramı bir Lie grubunun ek gösterimi'yle yakından ilişkidir . Aslında,çıkan \operatorname{ad} \operatorname{Ad} tam diferansiyel olarak grubunun eş ögesidir .

Ek gösterim[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer \mathfrak{g} bir Lie cebri üzerinde bir alan k ,ise doğrusal haritalama

\operatorname{ad}:\mathfrak{g} \to \operatorname{End}(\mathfrak{g})

x\mapsto \operatorname{ad}_x ile verilen bir bir Lie grubunun ek gösterimi'dir ve cebrin ek gösterim'i olarak adlandırılır. ( gerçek görüntü \operatorname{Der}(\mathfrak{g}) içinde yatıyor Aşağıya bakınız.)

\operatorname{End}(\mathfrak{g}),içinde Lie braketi'dir tanımı, iki operatörün değişmelisi tarafından verilir:

[\operatorname{ad}_x,\operatorname{ad}_y]=\operatorname{ad}_x \circ \operatorname{ad}_y - \operatorname{ad}_y \circ \operatorname{ad}_x

burada \circ doğrusal haritaların düzenli ifadesidir. Eğer \mathfrak{g} sonlu boyutlu, ise \operatorname{End}(\mathfrak{g}) ile \mathfrak{gl}(\mathfrak{g}) 'ye izomorfiktir. genel doğrusal grup'un \mathfrak{g} Lie cebri üzerinde vektör uzayı ve eğer onun seçilen bir tabanı ,ise matris çarpımı'na karşılık düzendir.

Lie braket'inin yukardaki tanımı kullanılarak,Jacobi özdeşliği

[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0

formunu alır

\left([\operatorname{ad}_x,\operatorname{ad}_y]\right)(z) = \left(\operatorname{ad}_{[x,y]}\right)(z)

burada x, y, ve z \mathfrak{g} nin keyfi ögeleridir .

Bu son özdeşlik ad gerçek bir Lie cebri eşbiçimidir denir; yani bir doğrusal haritalama alınan braketlere brakettir.

Daha bir modül-teorietik dilde, bu yapı sade bir dille olarak söylersek bu \mathfrak{g} kendi üzerinde bir modüldür.

\mathfrak{g} merkezinin tanımıyla \operatorname{ad} nin çekirdeğidir. sonuç olarak, \operatorname{ad} görüntüsünü düşünelim. Hatırlayın bir Lie cebri olarak bir türevi bir doğrusal harita'dır \delta:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g} bu Leibniz' kuralına uyar yani,

\delta ([x,y]) = [\delta(x),y] + [x, \delta(y)]

x' ların hepsi ve cebir içindeki y için .

Bu adx bir türevidir,Jacobi özdeşliğinin bir kanıtıdır . Bu ifade \mathfrak{g} nin ad altındaki görüntüsü \operatorname{Der}(\mathfrak{g}) nin bir alt cebiridir \mathfrak{g}.nin bütün türevlerinin uzayıdır

Yapı sabiti[değiştir | kaynağı değiştir]

Ek gösterimin kapalı matris ögesi cebrin yapı sabiti tarafından verilir. Bu, diyelimki {ei} cebir için bir taban vektörler'in kümesi olsun,bununla

[e^i,e^j]=\sum_k{c^{ij}}_k e^k.

ise matris ögeleri için yapı sabiti adei tarafından verilir

{\left[ \operatorname{ad}_{e^i}\right]_k}^j = {c^{ij}}_k.

Böylece örneğin su(2)'nun ek gösterimi so(3)'ün tanımını sağlar.

Ad'ye bağlantı[değiştir | kaynağı değiştir]

Ad ve ad üstel haritalama yoluyla bağlıdır; kabaca, Ad = exp ad, burada Ad bir Lie grubu için ek gösterim'dir .

Tam olarak, diyelimki G bir Lie grubu olsun, ve diyelimki \Psi:G\rightarrow \operatorname{Aut} (G) haritalama olsun g\mapsto \Psi_g ile \Psi_g:G\to G iç özbiçim tarafından verilir

\Psi_g(h)= ghg^{-1}.

O bir Lie grup haritasının bir örneğidir. \operatorname{Ad}_g tanımı \Psi_g olsun türevinin kökeni:

\operatorname{Ad}_g = (d\Psi_g)_e : T_eG \rightarrow T_eG

burada d diferansiyeldir ve TeG tanjant uzay orijini e (e ,Ggurubunun eş elementidir)dir.

G nin Lie cebri \mathfrak{g} = T_e Gdir. Dolayısıyla \operatorname{Ad}_g\in\operatorname{Aut}(\mathfrak{g}), \operatorname{Ad}:g\mapsto \operatorname{Ad}_g bir harita G den Aut(TeG)ye olacak bir türev TeG den End(TeG) ( Aut(V)'nin Lie cebri End(V))dir.

Böyleyse

\operatorname{ad} = d(\operatorname{Ad})_e:T_eG\rightarrow \operatorname{End} (T_eG).

üst-durum/alt-durum gösterim kullanımı da literatürde yaygın olarak kullanılır Böylece örneğin,cebrin içindeki bir vektör x , \mathfrak{g} cebri G grubu içindeki bir vektör alanı X üretir . Benzer şekilde ek haritalama \mathfrak{g} içindeki vektörlerin adxy=[x,y] Lie türevi'ne homomorfiktir vektör alanı LXY =[X,Y] 'nin G grubu bir manifold olarak düşünülür

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]