Binom dönüşümü

Tümleşik matematikte binom dönüşümü bir dizinin ileri farklarını hesaplamaya yarayan bir dizi dönüşümüdür. Kavram, binom dönüşümünün Euler dizisine uygulanması sonucu oluşan Euler dönüşümüyle yakından ilintilidir.

Tanım

Bir $\{a_n\}$ dizisinin binom dönüşümü (T)

$s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} a_k$

olarak tanımlanan $\{s_n\}$ dizisidir.

$(Ta)_n = s_n$ yazımında T bir sonsuz boyutlu işleci göstermektedir. Bu işlecin elemanları şu biçimde gösterilebilir:

$s_n = (Ta)_n = \sum_{k=0}^\infty T_{nk} a_k$

Bu dönüşüm bir kıvrılmadır.

$TT = 1$

Bu, farklı bir biçimde de gösterilebilir.

$\sum_{k=0}^\infty T_{nk}T_{km} = \delta_{nm}$

Burada δ Kronecker delta işlevini göstermektedir.

$a_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} s_k$

işlemiyle özgün diziye geri dönülebilir.

Bir dizinin binom dönüşümü o dizinin n. ileri farkıdır.

$s_0 = a_0$

$s_1 = - (\triangle a)_0 = -a_1+a_0$

$s_2 = (\triangle^2 a)_0 = -(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0) = a_2-2a_1+a_0$

$\dots\,$

$s_n = (-1)^n (\triangle^n a)_0$

Burada Δ ileri fark işlecini simgelemektedir.

Binom dönüşümü zaman zaman ek bir imle gösterilmektedir. Bu gösterimde dönüşüm

$t_n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n\choose k} a_k$

biçiminde ifade edilirken bu ifadenin tersi

$a_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} t_k$

olarak yazılır.

Örnek

Binom dönüşümleri fark tablolarında kolaylıkla gözlenebilmektedir.

0		1		10		63		324		1485
	1		9		53		261		1161
		8		44		208		900
			36		164		692
				128		528
					400

0, 1, 10, 63, 324, 1485, … biçimindeki en üst satır ($(2n^2+n) 3^{n-2}$ tarafından tanımlanan bir dizi) 0, 1, 8, 36, 128, 400, … köşegeninin ($n^2 2^{n-1}$ tarafından tanımlanan bir dizi) binom dönüşümüdür.

Değişim durumları

Binom dönüşümü Bell sayılarının değişim işlecidir. Başka bir deyişle,

$B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k} B_k$

eşitliği sağlanmaktadır. Burada $B_n$ Bell sayılarını göstermektedir.

Olağan üretici işlev

Dönüşüm, diziyle ilişkilendirilmiş üretici işlevleri birbirine bağlamaktadır. Olağan üretici işlev için

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$

ve

$g(x)=\sum_{n=0}^\infty s_n x^n$

eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan

$g(x) = (Tf)(x) = \frac{1}{1-x} f\left(\frac{x}{x-1}\right)$

ifadesine ulaşılabilir.

Euler dönüşümü

Olağan üretici işlevler arasındaki ilişki zaman zaman Euler dönüşümü olarak adlandırılmaktadır. İki farklı biçimde var olan dönüşüm, almaşık dizilerin yakınsaklığını hızlandırabilmektedir. Başka bir deyişle,

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac {\Delta^n a_0} {2^{n+1}}$

ifadesinde x yerine 1/2 konularak 1'e ulaşılabilir. Sağdaki terimler çok hızlı bir biçimde küçüldüklerinden bu toplam kolaylıkla hesaplanabilir.

Euler dönüşümü şu biçimde genellenbilir:

p = 0, 1, 2, … için

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n {n+p\choose n} a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n {n+p\choose n}\frac {\Delta^n a_0} {2^{n+p+1}}$

eşitliği sağlanır.

Euler dönüşümü $\,_2F_1$ hipergeometrik dizisine sıklıkla uygulanmkatadır. Bu durumda Euler dönüşümü

$\,_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b} \,_2F_1 \left(c-a, b; c;\frac{z}{z-1}\right)$

olarak ifade edilebilmektedir.

Binom dönüşümü ve bunun farklı bir uyarlaması olan Euler dönüşümü bir sayının sürekli kesir olarak ifade edilmesinde büyük önem taşımaktadır. $0 < x < 1$ sayısının sürekli kesir ifadesinin

$x=[0;a_1, a_2, a_3,\cdots]$

olduğu varsayılsın. Buradan

$\frac{x}{1-x}=[0;a_1-1, a_2, a_3,\cdots]$

ve

$\frac{x}{1+x}=[0;a_1+1, a_2, a_3,\cdots]$

sonuçlarına ulaşılabilmektedir.

Üstel üretici işlev

Üstel üretici işlev için

$\overline{f}(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}$

ve

$\overline{g}(x)= \sum_{n=0}^\infty s_n \frac{x^n}{n!}$

eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan

$\overline{g}(x) = (T\overline{f})(x) = e^x \overline{f}(-x)$

eşitliğine ulaşılır.

Borel dönüşümü, olağan üretici işlevi üstel üretici işleve dönüştürebilmektedir.

İntegral biçimindeki ifadesi

Dizi bir karmaşık çözümleme işleviyle değiştirildiğinde dizinin binom dönüşümü Nörlund-Rice integrali biçiminde ifade edilebilmektedir.

Genellemeler

Prodinger birimsel benzeri bir dönüşümden söz etmektedir.

$u_n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} a^k (-c)^{n-k} b_k$

eşitliğinin sağlandığı varsayıldığında

$U(x) = \frac{1}{cx+1} B\left(\frac{ax}{cx+1}\right)$

ifadesine ulaşılır. Burada U ve B sırasıyla $\{u_n\}$ ve $\{b_n\}$ dizileriyle ilişkilendirilmiş olağan üretici işlevleri göstermektedir.

Artan k-binom dönüşümü zaman zaman

$\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^k a_j$

biçiminde, azalan k-binom dönüşümü

$\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^{n-k} a_j$

biçiminde tanımlanmaktadır. Her iki dönüşüm de bir dizinin Hankel dönüşümü özüne eşittir.

Binom dönüşümü

$\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}a_i=b_n$

olarak tanımlanır, bu ifade

$\mathfrak J(a)_n=b_n$

işlevine eşitlenir, yeni bir ileri fark tablosu oluşturulur ve bu tablonun her satırının ilk elemanından $\{b_n\}$ gibi yeni bir dizi oluşturulursa özgün dizinin ikinci binom dönüşümü

$\mathfrak J^2(a)_n=\sum_{i=0}^n(-2)^{n-i}\binom{n}{i}a_i$

ifadesine eşit olur.

Aynı işlem k kez yinelendiğinde

$\mathfrak J^k(a)_n=b_n=\sum_{i=0}^n(-k)^{n-i}\binom{n}{i}a_i$

eşitliğine ulaşılır. Bu ifadenin tersi

$\mathfrak J^{-k}(b)_n=a_n=\sum_{i=0}^nk^{n-i}\binom{n}{i}b_i$

olarak yazılır.

Bu ifadenin genel biçimi

$\mathfrak J^k(a)_n=b_n=(\mathbf E-k)^na_0$

olarak yazılabilir. Burada $\mathbf E$ değişim işlecini göstermektedir.

Bu ifadenin tersi

$\mathfrak J^{-k}(b)_n=a_n=(\mathbf E+k)^nb_0$

biçiminde gösterilir.

Ayrıca bakınız

• Newton dizisi
• Hankel matrisi
• Möbius dönüşümü
• Stirling dönüşümü
• Euler toplamı

Kaynakça

• İngilizce Vikipedi'deki 03.09.2009 tarihli Binomial transform maddesi
• John H. Conway & Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
• Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Cilt 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
• Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform
• Michael Z. Spivey & Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform
• Borisov B. & Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82

Dış bağlantılar

• Binom Dönüşümü