Bessel–Clifford fonksiyonu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematiksel analiz'deBessel–Clifford fonksiyonu, Friedrich Bessel ve William Kingdon Clifford anısına atfetdilen iki kompleks değişken'li bir Tam fonksiyondur. Bu teori Bessel fonksiyonuna alternatif bir gelişme temin etmek için kullanılabilir.

\pi(x) = \frac{1}{\Pi(x)} = \frac{1}{\Gamma(x+1)} ise

ters Gama fonksiyonu vasıtası ile tam fonksiyonu ile tanımlanabilir,daha sonra Bessel-Clifford fonksiyon serisi tanımlandı

{\mathcal C}_n(z) = \sum_{k=0}^\infty \pi(k+n) \frac{z^k}{k!}

z/k (n + k),ardışık terimlerin oranı z nin tüm değerleri için ve artan  k ilen sıfıra gitme eğilimindedir. oran testi ile bu seri tüm z ve  n için kesinlikle yakınsaktır, düzgün |z|'nin sınırlı olan tüm bölgeleri için düzgündür ve bunun sonucu olarak Bessel–Clifford fonksiyonu iki karmaşık değişkenn ve  z bir tam fonksiyondur .

Bessel-Clifford fonksiyonunun diferansiyel denklemi[değiştir | kaynağı değiştir]

yukarıdaki seriden sırasıyla x ve {\mathcal C}_n(x) diferansiyeli aşağıdaki doğrusal ikinci derece homojen diferansiyel denklem'ini karşılar.

xy'' + (n+1)y' = y. \qquad

Bu denklem, genelleştirilmiş hipergeometrik tip olup aslında Bessel-Clifford fonksiyonu Pochhammer–Barnes hipergeometrik fonksiyonu'nun bir ölçeklendirme faktörü kadardır;

{\mathcal C}_n(z) = \pi(n)\ _0F_1(;n+1; z).

n negatif olmadığı sürece,bu durumda sağ taraftaki tanımsızdır, İki tanım esasen eşittir; böylece z = 0 değerinde normalize edilen hipergeometrik fonksiyonu tektir.

Bessel fonksiyonları ile ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Bessel-Clifford fonksiyonu birinci tür Bessel fonksiyonu açısından tanımlanabilir.

J_n(z) = \left(\frac{z}{2}\right)^n {\mathcal C}_n\left(-\frac{z^2}{4}\right);

Eğer n tamsayı değilse biz Bessel fonksiyonunun tam olmadığından sözedebiliriz. Benzer biçimde, birinci tür modifiye Bessel fonksiyonundada tanımlanabilir.

I_n(z) = \left(\frac{z}{2}\right)^n {\mathcal C}_n\left(\frac{z^2}{4}\right).

prosedür tabii ki tersine çevrilebilir,böylece Bessel-Clifford fonksiyonu tanımlanabilir,

{\mathcal C}_n(z) = z^{-n/2} I_n(2 \sqrt{z});

Birinci tür Bessel-Clifford fonksiyonu açısından tanımlanabilir;

{\mathcal C} tam idi.

Bessel fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Hemen bu takiple tanımlanan seriden \frac{d}{dx}{\mathcal C}_n(x) = {\mathcal C}_{n+1}(x).

{\mathcal C} 'yi yerine kullanarak diferansiyel denklemi düzeltip yazmak istersek

x {\mathcal C}_{n+2}(x) + (n+1){\mathcal C}_{n+1}(x) = {\mathcal C}_n(x), bu formül için

Bessel-Clifford fonksiyonu için tekrarlama ilişkisini tanımlar,sub>0F1 için bu eşitlikteki benzer bir ilişkidir.Gauss sürekli kesri'nin özel bir durumudur.

\frac{{\mathcal C}_{n+1}(x)}{{\mathcal C}_n(x)} = \cfrac{1}{n+1 + \cfrac{x}{n+2+\cfrac{x}{n+3+ \cfrac{x}{\ddots}}}}.

Bu sürekli kesrin her durumda yakınsak olduğu gösterilebilir.

İkinci türden Bessel-Clifford fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

xy'' + (n+1)y' = y \qquad

İki lineer bağımsız çözümü vardır,diferansiyel denklemin bir düzgün tekil noktası orijindedir, ve {\mathcal C} tam olduğundan,İkinci çözüm başlangıç ​​noktasında tekil olmalıdır. Bizim yapı

{\mathcal K}_n(x) = \frac{1}{2} \int_0^\infty \exp\left(-t-\frac{x}{t}\right) \frac{dt}{t^{n+1}}

\Re(x) > 0 için yakınsak,ve analitik devamlıdır,bu diferansiyel denklem için ikinci bir lineer bağımsız çözüm elde edilebilir.. {\mathcal K} ifadesine 1/2 faktorü eklenerek yerleştirilir,ikinci türden Bessel fonksiyonlarına karşılık gelir. Elimizde olan

K_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n {\mathcal K}_n\left(\frac{x^2}{4}\right).

ve

Y_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n {\mathcal K}_n\left(-\frac{x^2}{4}\right).

terimler içinde K da var;

{\mathcal K}_n(x) = x^{-n/2} K_n(2 \sqrt{x}).

Bu nedenle tıpkı birinci tür Bessel fonksiyonu {\mathcal C} her iki cinsindende ifade edilebilir ve modifiye Bessel fonksiyonu {\mathcal K} heriki cinsindende ifade edilebilir.

Üreteç fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

exp(t) için mutlak yakınsak seri ile çarparsak ve exp(z/t) birlikte,(eğer t sıfır değilse) mutlak yakınsak seri ile exp(t + z/t)serisini alırsak, t ortak termdir,{\mathcal C}_n için Biz kuvvet serileri tanımı ile karşılaştırma bulabiliriz. Şu var

\exp\left(t + \frac{z}{t}\right) = \sum_{n=-\infty}^\infty t^n {\mathcal C}_n(z).

Bu üreteç fonksiyonu sonra daha fazla formülleri elde etmek için kullanılabilir,özellikle de kullandığımız Cauchy integral formülü ve tamsayı n için {\mathcal C}_n olarak elde edilir.

{\mathcal C}_n(z) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{\exp(z+z/t)}{t^{n+1}}\, dt = \frac{1}{2 \pi}\int_0^{2 \pi} \exp(z(1+\exp(-i\theta))-ni\theta))\,d\theta.

Kaynaklar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Clifford, William Kingdon (1882), "On Bessel's Functions", Mathematical Papers (London): 346–349 .
  • Greenhill, A. George (1919), "The Bessel–Clifford function, and its applications", Philosophical Magazine Sixth Series: 501–528 .
  • Legendre, Adrien-Marie (1802), Éléments de Géometrie, Note IV, Paris .
  • Schläfli, Ludwig (1868), "Sulla relazioni tra diversi integrali definiti che giovano ad esprimere la soluzione generale della equazzione di Riccati", Annali di Matematica Pura ed Applicata 2 (I): 232–242 .
  • Watson, G. N. (1944), A Treatise on the Theory of Bessel Functions (Second bas.), Cambridge: Cambridge University Press .
  • Wallisser, Rolf (2000), "On Lambert's proof of the irrationality of π", Halter-Koch, Franz; Tichy, Robert F., Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis, Berlin: Walter de Gruyer, ISBN 3-11-016304-7 .