Bağlantı (matematik)

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Geometride bir bağlantı kavramı, paralel ve tutarlı bir şekilde bir eğri veya eğriler ailesi boyunca veri taşıma kesin fikri oluşturur.Modern geometrinin bağlantılarının türlerinin çeşitleri vardır,bir verinin ne türü bağlı olarak taşınmak isteniyor?Örneğin,en temel tip bir afin bağlantı,bir eğri boyunca bir noktadan bir manifolduna tanjant vektörler taşınması için bir araç verir .Belirli bir yönde bir vektör alanının sonsuz taşınması:Bir afin bağlantı tipik olarak vektör alanlarının yönlü türevlerinin alınması için bir vasıta sağlayan bir eşdeğişken türev şeklinde verilir. Bunlar bir noktada yerel geometri ile başka bir noktada yerel geometri arasındaki bir karşılaştırmaya izin verir çünkü bağlantılar büyük ölçüde modern geometride merkezi bir önem taşımaktadır.Sonsuz ve yerel teorisi:Diferansiyel Geometri kendi içinde iki ana gruba ayrılır bağlantı teması üzerinde çeşitli varyasyonları kucaklar.Öncelikle paralel taşınım ve holonomi kavramları ile yerel teori kendini ilgilendirir.Sonsuz teorisi geometrik verilerin farklılaşması ile ilgilenmektedir.Böylece kovaryant türev bir manifoldu başka bir vektör alanının boyunca bir vektör alanının bir türevini belirten bir yoludur .Bir Cartan bağlantısı diferansiyel formları ve Lie grupları kullanarak bağlantı kuramının bazı varsayımlarını formüle etmenin bir yoludur.Bir Ehresmann bağlantısı fiber demeti veya alanın hareketinin izin verdiği yönü belirten bir temel demet içinde bir bağlantıdır.Bir Koszul bağlantısı bir vektör demeti(paketi) türevi genelleştirici bir bağlantıdır . Bağlantılar ayrıca eğrilik ( ayrıca eğrilik tensörü ve eğrilik formu ve burulma tensörü) gibi geometrik değişmezlerin uygun formülasyonlarına izin verir.

Alıştırma: koordinatların uygunsuzluğu[değiştir | kaynağı değiştir]

Paralel taşınım (siyah okun)bir küresi üzerindedir.Farklı yönler içinde paralel taşınımlar sırasıyla mavi ve takiben kırmızı oklar gösteriliyor ama aynı alt sağ noktada sonlanıyor.Aslında bu aynı yöndeki nokta en sonda değil kürenin eğriliğinin bir fonksiyonudur.

Paralel taşınım ın aracı olarak şu sorunu düşünün:Kuzey kutbunda S küresine bir tanjant vektör veriliyor, ve kürenin diğer noktalarına bu vektörü hareketli bir şekilde tanımlamış olduğunu varsayalım. Safça,uygun bakım uygulandığı sürece bu özel bir koordinat sistemi kullanılarak yapılabilir. Ancak, koordinatların bir sistemde tanımlı paralel taşınımı için başka bir koordinat sistemi kabul edilemez. Daha uygun bir paralel ulaşım için sistemi dönme altında kürenin simetrisini kullanmaktır.Kuzey kutbunda verilen bir vektör göz önüne alındığında, eksenel dönme olmadan kuzey kutbunda verilen bir eğri boyunca böyle bir şekilde kürenin dönmesi ile eğri boyunca hareket ederek bu vektör taşınabilir.Paralel taşınımın bu ikinci ve son aracı küre üzerinde Levi-Civita bağlantısıdır.İki farklı eğri aynı başlangıç ve bitiş noktasına sahiptir, ve bir v katı vektör bir dönme ile birinci eğri boyunca hareket ettirildiğinde, eğri terminal noktada elde edilen ikinci v katı vektör boyunca hareket eden vektörden farklı olacaktır.Bu olgu, kürenin eğriliğini gösterir. Paralel ulaşımı görselleştirmek için kullanılan basit bir mekanik cihaz güney-işaretleme arabasıdır. Örneğin, S toparsal izdüşüm ile koordinatlar verildiğini varsayalım. S bakışıyla R3 içindeki birim vektörler oluşturuluyorsa S koordinatının yamaları bir çift taşır: kuzey kutbunun bir yakın komşuluğunda tek ve güney kutbunun diğer

Gönderimler:


\begin{align}
\varphi_0(x,y) & =\left(\frac{2x}{1+x^2+y^2}, \frac{2y}{1+x^2+y^2}, \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}\right)\\[8pt]
\varphi_1(x,y) & =\left(\frac{2x}{1+x^2+y^2}, \frac{2y}{1+x^2+y^2}, \frac{x^2+y^2-1}{1+x^2+y^2}\right)
\end{align}

sırasıyla kuzey kutbun U0 ve güney kutbunun U1 bir yakınkomşuluğunu kapsar. Diyelimki R3içinde X, Y, Z olsun ortam koordinatları olsun.Bunlar φ0 ve φ1 ise elimizde tersleri var


\begin{align}
\varphi_0^{-1}(X,Y,Z)&=\left(\frac{X}{Z+1}, \frac{Y}{Z+1}\right), \\[8pt]
\varphi_1^{-1}(X,Y,Z)&=\left(\frac{-X}{Z-1}, \frac{-Y}{Z-1}\right),
\end{align}

böylece koordinat geçiş fonksiyonu çember içinde tersidir:

\varphi_{01}(x,y) = \varphi_0^{-1}\circ\varphi_1(x,y)=\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right)

Diyelimki şimdi biz bu koordinat türevleriyle ilişkili bileşenlerin terimleri içindeki bir vektör alanı gösteriyoruz. Eğer P U0Snin bir noktası,ise ilerletme ile bir vektör alanı gösterilebilir

v(P) = J_{\varphi_0}(\varphi_0^{-1}(P))\cdot {\bold v}_0(\varphi_0^{-1}(P))\qquad(1)

burada J_{\varphi_0} ifadesi φ0nin Jacobiyen matrisini ifade eder, ve v0 = v0(xy) R2 üzerinde bir vektör alanı v ile belirlenen tekliktir.Ötesi U0U1 koordinat kartları arasında üst üste gelme üzerine, bu φ1 ya aynı vektör alanı sırasıyla göstermeye olası koordinatlardır:

v(P) = J_{\varphi_1}(\varphi_1^{-1}(P))\cdot {\bold v}_1(\varphi_1^{-1}(P)). \qquad (2)

v0 ve v1 bileşenlerinin bu ilişkisine φ1 = φ0 o φ01 zincir kuralı eşitliği uygulanır:

J_{\varphi_1}(\varphi_1^{-1}(P)) = J_{\varphi_0}(\varphi_0^{-1}(P))\cdot J_{\varphi_{01}}(\varphi_1^{-1}(P)). \,

v11−1(P)) vektör bileşenlerine bu matris denkleminin iki tarafı uygulanır ve (1) ve (2) çağırılması elde edilen

{\bold v}_0(\varphi_0^{-1}(P)) = J_{\varphi_{01}}(\varphi_1^{-1}(P))\cdot {\bold v}_1(\varphi_1^{-1}(P)). \qquad (3)

Paralel bir eğri boyunca bir vektör alanını taşımak için nasıl tanımlanmasının ana sorusuna şimdi gelindi.Varsayalım şu P(t) S içinde bir eğridir.Naifçe, vektör alanının koordinat bileşenleri eğri boyunca sabit ise tek bir vektör alanı paralel düşünülebilir.Ancak, hemen bir belirsizlik ortaya çıkar: hangi koordinat sisteminin bu bileşenleri sabit olmalıdır?

Örneğin,bu varsayım v(P(t)) U1 koordinat sistemi içinde sabit bileşenler var.Bu fonksiyonlar v1(φ1−1(P(t))) sabittir.Bununla birlikte,çarpım kuralı (3)'e uygulanıyor ve kullanılıyor ,aslında d v1/dt = 0 verilen

\frac{d}{dt}{\bold v}_0(\varphi_0^{-1}(P(t)))=\left(\frac{d}{dt}J_{\varphi_{01}}(\varphi_1^{-1}(P(t)))\right)\cdot {\bold v}_1(\varphi_1^{-1}(P(t))).

Ama \left(\frac{d}{dt}J_{\varphi_{01}}(\varphi_1^{-1}(P(t)))\right) her zaman bir tekil-olmayan matristir (eğri bunu sağlar P(t) durgun değildir), böylece v1 ve v0 eşzamanlı sabit eğri boyunca hiç olamaz

Çözünürlük[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukarıdaki problemde gözlenen vektör alanlarının bileşenlerine uygulandığında bu koordinat sistemi içinde değişiklik altında iyi davranmayan vektör hesabının kullanılan yönlü türevidir.Eğer bu gibi bir gösterim herhangi anlamda tüm yapılırsa bu onu paralel ötelemeli vektör alanlara oldukça zor tanıtabilir.Burada bu problemin çözümünün farklı iki temelli yolu var.

İlk yaklaşım incelemek içindir ve koordinat ötelemeleri altında yönlü türevin bir genellemesi için "iyi davranma" gereklidir.Bu bağlantılarına eşdeğişken türev yaklaşıklığı ile taktik almaktır:İyi davranış eşdeğişken ile eşittir.Burada belli bir doğrusal işlemci ile yönlü türevin tek bir modifikasyonu dikkate alınır,böyle bileşenlere Christoffel sembolü denir, bu kendi vektör alanları üzerinde türevler içermez. u yönü içinde bir φ koordinat sistemi içinde bir v vektörü bileşenlerinin Duv yön türevi bir eşdeğişken türev ile yerdeğiştirir:

\nabla_{\bold u} {\bold v} = D_{\bold u} {\bold v} + \Gamma(\varphi)\{{\bold u},{\bold v}\}

burada φ koordinat sistem üzerinde bağımlı Γ,u ve v içinde çiftdoğrusaldır. Özel olarak, Γ u veya v üzerinde herhangi türevler içermez.Bu yaklaşımla öngörülen bir tavır içinde eğer φ koordinat sistemi farklı bir koordinat sistemiyle değiştirilirse dönüşüm Γ olmalı. Bu dönüşüm tensörel değildir, dolayısıyla bu içerik koordinat geçişinin yalnızca ilk türevi değildir, ama ayrıca bu ikinci türevdir. Γ'nın dönüşüm yasasını belirtme Γ teklik belirlemeye yeterli değildir.Bazı diğer normalizasyon durumları dayatılmalıdır, genellikle geometri altında düşünülen geometrinin tipi üzerinde bağlıdır.Riemannyen geometride,Levi-Civita bağlantısı Christoffel sembolleri ile metrikin bağdaştırılması gerekir (hem de belli bir simetri durumunda).Bu normalizasyonlar ile, bağlanan teklik(eşsizlik) olarak tanımlanıyor.

İkinci yaklaşım uzay üzerinde simetrinin bazı zerrelerini yakalamayı varsaymaya Lie grupları kullanmaktır.Bu Cartan bağlantı(sı)larının yaklaşımıdır.Örneğin yukarıda küre üzerinde vektörlerin özel paralel taşınıma dönmelerin kullanılması bu damar içinde pek çoktur.

Bağlantıların tarihi araştırması[değiştir | kaynağı değiştir]

Tarihsel olarak,bağlantılar Riemann geometrisinde bir sonsuz bakış açısıyla incelenmiştir.Bağlantıların sonsuz çalışması Christoffel ile bir ölçüde başladı.Bu daha sonra Gregorio Ricci-Curbastro ve Tullio Levi-Civita Levi-Civita & Ricci 1900 tarafından daha kapsamlı ele alındı. Christoffel'in sonsuz anlamında bir bağlantıda bir parça içinde Paralel taşınımın bir kavramı için ayrıca izin verdiği gözlendi Levi-Civita'nın sonraki çalışması diferansiyel denklemlerin çözümleri paralel yerdeğiştirmeler idi.Diferansiyel işlemcinin bir türü olarak bağlantıları konusunda odaklanmıştır.Yirminci yüzyıl ilerledikçe,Elie Cartan bağlantının yeni bir ifadesini geliştirdi.O Felix Klein'ın Erlangen programı geometrilerine Pfaffian sistemlerinin tekniklerini uygulamak için çalıştı.Eğrinin varlığı bağlantı ifadesi başka şekilde klasik bir Klein geometrinin sınırlarının izin verdiği müddetçe mevcut olacaktır : Bu araştırmalarda, o bağlantının belirli bir sonsuz küçük kavramının (bir Cartan bağlantı) bu geometrilere ve dahasına uygulanabilir olduğunu bulduk.((Örneğin Cartan 1926 bak) ve (Cartan 1983).)(Örneğin Cartan 1926) ve Cartan 1983) Ayrıca Cartan Gaston Darboux kendi dinamiklerini kullanarak,sonsuz bağlantılar sınıfının paralel taşınım ifadesini yaygınlaştırmayı başardı.Bu bağlantının teorisi bir başka önemli kavram kurdu:böyle bir bağlantı diferansiyel form'un belli bir türüdür . Bağlantı teorisinde iki konu günümüze kadar süregelmiştir: diferansiyel işlemci olarak bir bağlantı ve bir diferansiyel formun bir bağlantısı gibi. 1950 yılında, Jean -Louis Koszul Koszul 1950 Koszul bağlantısı vasıtasıyla bir diferansiyel işlemcinin bir bağlantısı ile ilgili bir cebirsel çerçeveyi verdi.Hemde Koszul bağlantısı Levi-Civita'nınkinden daha fazla genel oldu,ve nihayet ortadan kaldırmak için (yada enazından gizlemek için) bağlantı formalizminden gelen garip Christoffel sembolleri ile sonuçlandırdı çünkü çalışmak daha kolay oldu.Eşlik eden paralel yerdeğiştirme operasyonlarında bağlantının terimleri içinde doğal cebirsel yorumlara vardı. Etkin cebirsel kovaryant bir farklılaşma ve paralel öteleme arasında analitik yazışmayı dönüştürebilir başlangıç Koszul tanımı daha sonra, diferansiyel geometri topluluğunun çoğu tarafından kabul edildi. Aynı yıl içinde, Charles Ehresmann Ehresmann 1950,Cartan'ın bir öğrencisi,ana demetin konuları içinde ve daha geneli, lif demeti bağlantısının üzerindeki bir diferansiyel form bağlantı üzerinde bir varyasyon sundu.Ehresmann bağlantılarının kesinlikle Cartan bağlantılarının bir genellemesi olmadığı konuşuluyordu. Cartan bağlantıları oldukça katı çünkü Cartan denklik yöntemi ile ilişkilerin manifoldunun temel diferansiyel topolojisi altında oldukça sıkı bir şekilde bağlı idi. Ehresmann bağlantıları yerine zaten böyle gösterge bağlantıları denebilecek çalışmaya uzak Cartan bağlantılarından harekete geçilmişti. Arasında Shiing-Shen Chern, gibi dönemin diğer geometricilerin temel çalışmalarını izlemek için sağlam bir çerçeve vardı. Bakış Ehresmann noktasında, bir ana demet içinde bir bağlantı demetinin toplam uzay üzerinde yatay ve dikey vektör alanlarının bir belirtimini oluşturmaktadır. Paralel ötelemenin ardından yatay ana demet bir eğriye tabanından bir eğrinin bir kaldırıcısıdır .Bu bakış açısının holonomi ile ilgili çalışmalarda özellikle değerli olduğu kanıtlanmıştır.

Olası yaklaşımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]