Açık gönderim teoremi (karmaşık analiz)

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Karmaşık analizde açık gönderim teoremi, U, karmaşık düzlem C 'nin bağlantılı açık bir altkümesiyse ve f : UC sabit olmayan holomorf bir fonksiyonsa, o zaman f 'nin açık gönderim olduğunu ifade eder (yani U 'nun açık altkümelerini C 'nin açık altkümelerine gönderir).

Açık gönderim teoremi, holomorfi ve gerçel türevlenebilirlik arasındaki keskin farkı ortaya koyar. Mesela, gerçel sayılar üzerinde, f(x) = x2 türevlenebilir fonksiyonu açık bir gönderim değildir çünkü (-1,1) açık aralığının görüntüsü [0,1) yarıaçık aralığıdır.

Teorem, örneğin, sabit olmayan bir holomorf fonksiyonun açık bir diski bir doğrunun parçasına örten bir şekilde gönderemeyeceğini gösterir.

Kanıt[değiştir | kaynağı değiştir]

Mavi noktalar g(z) 'nin sıfırlarını göstermektedir. Sivri siyah şekiller kutupları temsil etmektedir. U açık kümesinin sınırı kesik çigilerle gösterilmektedir. Burada bütün kutuplar açık kümenin dışındadır. Daha küçük olan kırmızı çember kanıtta kurulan B kümesidir.

f:UC sabit olmayan holomorf bir fonksiyon olsun ve U karmaşık düzlemin bağlantılı bir açık altkümesi olsun. f(U)'daki her noktanın f(U)'nun bir iç noktası olduğunu göstermeliyiz; yani f(U) içindeki her noktanın f(U) içinde yer alan bir diskin içinde olduğunu göstermeliyiz.

U içinde rastgele bir z_0 noktasını alalım. U açık olduğu için, bir d>0 bulabiliriz öyle ki z0 etrafında, d yarıçaplı B kapalı diski tamamen U içinde yer alır. U bağlantılı olduğu ve f, U üzerinde sabit olmadığı için, f 'nin B üzerinde sabit olmadığını biliyoruz. Görüntü noktası w_0 = f(z_0) 'ı ele alalım. f(z_0)-w_0 = 0 olur ve z_0, g(z)=f(z)-w_0 fonksiyonunun kökü olur.

g(z) 'nin sabit olmadığını biliyoruz ve d yi daha da azaltarak g(z) 'nin B içinde tek bir kökü olmasını sağlayabiliriz. (Sabit olmayan holomorf fonksiyonların kökleri izoledir.) e, B 'nin sınırındaki z değerleri için |g(z)| 'nin minimum değeri olsun (pozitif sayı). (B 'nin sınırı çemberdir ve bu yüzden tıkız kümedir. |(g(z)| sürekli fonksiyondur. Böylece, ekstremum değer teoremi bu minimumun varlığını kanıtlar.) w_0 etrafındaki e yarıçaplı diski D ile gösterelim. Rouché teoremi, w_0 'a uzaklığı e 'den az olan her w için g(z)=f(z)-w_0 ve f(z)-w 'nin B içinde aynı sayıda köke sahip olacağını ifade eder. Bu yüzden, D içindeki her w için, B 'de f(z_1) = w olacak şekilde sadece bir tane z_1 vardır. Bu da, D diskinin f(U) 'nun altkümesi olan f(B) 'de yer aldığı anlamına gelir.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]