Fonksiyon

Bu maddenin veya maddenin bir bölümünün gelişebilmesi için konuda uzman kişilere gereksinim duyulmaktadır. Ayrıntılar için maddenin tartışma sayfasına lütfen bakınız. Konu hakkında uzman birini bulmaya yardımcı olarak ya da maddeye gerekli bilgileri ekleyerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz.

Fonksiyon (Fransızca), İşlev (Türkçe) matematikte değişken sayıları girdi olarak kabul edip bunlardan bir çıktı sayısı oluşmasını sağlayan kurallardır. Bir işlem türüdür. Dört işlemden sonra gelir.

Matematiksel tanım

İşlevin matematiksel yani biçimsel ve kuramsal tanımı şu şekildedir:

$A$ ve $B$ iki küme olsun. $F$, $A\times B$ kartezyen çarpımının şu özelliği sağlayan bir altkümesi olsun:

Her $x\in A$ için, $(x,\, y)\in F$ ilişkisini sağlayan

bir ve bir tane $y\in B$ elemanı vardır.

Bu durumda $(A,\, B,\, F)$ üçlüsüne işlev adı verilir. İki tanım daha: $A$, $(A,\, B,\, F)$ işlevinin tanım kümesidir, $B$ ise varış kümesidir.

$(A,\, B,\, F)$ işlevine $f$ adını verirsek, verilen bir $x\in A$ için $B$'nin $(x,y)\in F$ ilişkisini sağlayan yegane $y$ elemanı $f(x)$ olarak gösterilir. Kimi zaman $f(x)$ yerine $fx$ yazıldığı da olur. Demek ki, her $x\in X$ için $(x, fx) \in F$ olur. Ayrıca $F$ kümesine $f$ işlevinin grafiği adı verilir.

Fİşlevi matematiksel olarak tanımlamak için "kural"dan söz etmediğimize dikkatinizi çekeriz. Ama $F$'nin bir küme olması gerekliliği matematikçiler açısından can alıcı noktadır.

Eğer $A=\emptyset$ ise $(A,\, B,\, F)$ üçlüsünün bir fonksiyon olması için $F$'nin boşküme olması gerektiği açıktır, işte bu $(\emptyset,\, B,\, \emptyset)$ üçlüsü boşfonksiyondur.

Örnekler

$A$ ve $B$ iki küme olsun. $A$'nın her elemanını bir biçimde $B$'nin bir ve bir tek elemanıyla ilişkilendirelim. (Koyu renkle yazılmış sözcükler önemlidir; ilerde bunların üstünde duracağız.) Örneğin $A = \mathbb{R}$ (gerçel sayılar kümesi), $B$ de -3'ten büyük gerçel sayılar kümesi olsun, yani $B = (-3, \infty)$ olsun. İlişkilendirmeyi de şöyle yapalım: $A$'nın her elemanını (yani her gerçel sayıyı), o elemanın karesiyle ilişkilendirelim. Böylece ilişkilendirmeyi bir formülle tanımlamış olduk. Bu örnekteki ilişkilendirmeyi $x \mapsto x^2$ olarak yazarız, her sayı karesiyle ilişkilendirilmiştir, örneğin -3 sayısı 9'la, $\sqrt{2}$ sayısı 2'yle ilişkilendirilmiştir. İşte $A$'dan $B$'ye giden fonksiyon böyle bir şeydir. Fonksiyon $f$ simgesiyle ifade edilir. Verilen örnek için $f(x) = x^2$ yazılır.

$A$ yaşamış ya da şu anda yaşayan insanlar kümesi olsun. $f$ fonksiyonu her insanı annesine götürsün. Matematiksel olmasa da bu, $A$'dan $A$'ya giden bir fonksiyondur, çünkü her insanın bir annesi vardır. Ama her insanı kardeşine götüren bir fonksiyon yoktur çünkü bazı insanların kardeşi olmadığı gibi bazı insanların birden çok kardeşi vardır. Öte yandan, her insanı en büyük kardeşine götüren kural, kardeşi olan insanlar kümesinden $A$ kümesine giden bir fonksiyondur.

$A$'dan $B$'ye giden bir $f:A\longrightarrow B$ fonksiyonu, $A$ kümesinin her elemanını $B$'nin bir ve bir tek elemanına götüren/elemanıyla ilişkilendiren bir "kural"dır. (Burada biraz yalan var, ama pek önemli değil: Kuralın ne demek olduğunu söylemediğimiz gibi, bir fonksiyonun tanımlanması için herhangi bir kurala da aslında gerek yoktur! İlerde, yazının sonunda, fonksiyonun gerçek matematiksel tanımını verdiğimizde bu pembe yalana ihtiyacımız kalmayacak.)

Özet olarak, verilmiş bir $f:A\longrightarrow B$ fonksiyonu, $A$'nın her elemanını bir biçimde $B$'nin bir ve bir tek elemanına götürür/elemanıyla ilişkilendirir.

Yukardaki örnekte, kural, $f(x) = x^2$ olarak verilmiştir. Ama bir fonksiyon bir formül ya da bir kuraldan öte bir şeydir. Bir fonksiyon, sadece bir kural değildir; bir fonksiyonu tanımlamak için, kural dışında, bir de ayrıca $A$ ve $B$ kümeleri de gerekmektedir. Formül ya da kural aynı kalsa bile $A$ ve $B$ kümeleri değişirse fonksiyon da değişir. Yukardaki örnek üzerinden gidelim:

Yukarda $A =$ R ve $B = (-3,\infty)$ almış ve fonksiyonu $f(x)=x^2$ kuralıyla tanımlamıştık. Şimdi $A$ yerine $A_1 = (-5, \infty)$ alırsak ve formülü ve $B$ kümesini aynı tutarsak, o zaman elde edilen $A_1 \longrightarrow B$ fonksiyonunu gene $f$ ile göstermek yanlış olur, çünkü bu iki fonksiyon değişik fonksiyonlardır. $A_1$'den $B$'ye giden ve kare alma kuralıyla tanımlanan fonksiyonu örneğin $g$ ile gösterebiliriz.

Bunun gibi, $B$ kümesi değişirse, o zaman fonksiyon da değişir; örneğin $B_1 = [0, \infty)$ ise, kare alma kuralı $A$'dan $B_1$'e giden bir fonksiyon tanımlar ve bu fonksiyon, yukardakilerle karışmasın diye, $f$ ya da $g$ ile değil, bir başka simgeyle, örneğin $h$ ile gösterilir.

Aynı şekilde $A_1$'den $B_1$'e giden bir fonksiyon, $f,\,g$ ya da $h$ ile değil, örneğin $k$ ile gösterilmelidir.

Yukarda koyu renkle yazılı sözcükler şu nedenle önemlidir: Bir $f:A\longrightarrow B$ fonksiyonu, $A$ kümesinin her elemanını $B$'nin bir elemanına götürür, yani $A$'nın bazı elemanlarını unutmuş olamaz. Örneğin, karekök alma kuralı, gerçel sayılar kümesi $\mathbb{R}$'den $\mathbb{R}$'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz, çünkü negatif sayıların gerçel sayılarda karekökü yoktur. Ya da $A=B=\mathbb{N}$ (doğal sayılar kümesi) ise, $f(x) = x-1$ kuralı, $A$'dan $B$'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz çünkü $f(0)=-1$'dir ve $0 \in A$ olmasına karşın $-1$ sayısı $B$'de değildir. Öte yandan bu $f(x) = x-1$ kuralı, $\mathbb{N}$'den tamsayılar kümesi $\mathbb{Z}$'ye giden bir fonksiyon tanımlar.

İkinci koyu renkli kısmın önemi ise şu şekildedir: Bir $f:A\longrightarrow B$ fonksiyonu, $A$'nın her elemanını $B$'nin bir ve bir tek elemanına götürür, yani $A$'nın aynı elemanı $B$'nin iki ayrı elemanına gidemez. (Yukarda verilen kardeş örneğini anımsayın.) Örneğin $A = B =\mathbb{R}$ ise, $A$'nin bir $x$ elemanını $x^2 = y^2$ denkleminin $y$ çözümlerine götüremez, çünkü eğer $x = 0$ değilse, bu denklemin R'de iki değişik $y$ çözümü vardır, nitekim $x^2 = y^2$ denkleminin çözümleri $y=x$ ve $y=-x$'tir. Burada, $x$'in $x$'e mi yoksa $-x$'e mi gideceği belirtilmemiştir ve bu, bir fonksiyon yaratmada sorun teşkil eder. Bir $f:A\longrightarrow B$ fonksiyonunda, $A$'nın her elemanını $B$'nin bir ve bir tek elemanına gitmelidir, iki ya da daha fazla elemana gidemez. (Birkaç yüzyıl önce bu tür fonksiyonlar kabul ediliyordu ama bugün bunlara fonksiyon denmiyor.)

Kalkış ve varış kümeleri.

Bir $f:A\longrightarrow B$ fonksiyonunda, $A$'ya tanım kümesi ya da kalkış kümesi denir. $B$'ye de değer kümesi ya da varış kümesi denir.

Görüntü

Eğer $x\in A$ ise $f(x)$'e $x$'in $f$ altında görüntüsü adı verilir. $B$'nin

$\{f(x) : x \in A\}$

altkümesi $f(A)$ olarak gösterilir ve bu kümeye $f$'nin görüntü kümesi adı verilir. (Kimi $f(A)$ yerine $B$'ye görüntü kümesi demeyi yeğliyor ama her zaman görüntü kümesi değer kümesine eşit olmak zorunda değildir.)

Örneğin $f(x) = x^2$ kuralıyla tanımlanan $f:$ (-3,5) $\longrightarrow$ R fonksiyonunun görüntü kümesi $[0, 25)$ aralıkıdır.

İşlev eşitliği

$f$ ve $g$ fonksiyonlarının birbirine eşit olması için, 1) tanım kümelerinin eşit olması, 2) değer kümelerinin eşit olması ve 3) tanım kümesindeki her $x$ için $f(x)=g(x)$ olması gerekmektedir. Bu üç koşuldan biri eksikse fonksiyonlar eşit olmaz. (Genellikle liselerde sadece üçüncü koşul üzerinde durulur.) Gene de eşitlikte en önemli koşul (3) koşuludur. Ardından (1) koşulu gelir. (2) koşulunun gözden kaçtığı olur.

Durağan (Sabit) işlevler

$A$ ve $B$ iki küme olsun ve $b\in B$ olsun. $A$'nın her elemanını $B$'nin bu $b$ elemanına götüren fonksiyona sabit fonksiyon adı verilir. $b$ değerini alan sabit fonksiyonu $c_b$ olarak gösterirsek, o zaman $c_b<zvxcvcxvcxvcxvcvxcbcv : A \longrightarrow B$ fonksiyonu, her $x\in A$ için $c_b(x) = b$ kuralıyla tanımlanır. Not: $A$ ve $B$ kümelerinin önemini ortaya çıkarmak istiyorsak, $c_b$ yerine $c_{b,A,B}$ yazmak gerekebilir. Bu fonksiyona "sabit $b$ fonksiyonu" adı verilir.

Bileşke mümkün olduğunda $c_b\circ f = c_b$'dir. Ama $f\circ c_b=c_{f(c)}$'dir.

Eğer $A$ ya da $B$'nin tek bir elemanı varsa, o zaman $A$'dan $B$'bcvbcvbcvbye giden her fonksiyon sabit olmak zorundadır.

Eğlencelik

Eğer $A\neq\emptyset$ ve $B=\emptyset$ ise, $A$'dan $B$'ye giden bir fonksiyon yoktur.

Eğer $A=\emptyset$ ise, $B$ hangi küme olursa olsun, $A$'dan $B$'ye giden bir ve bir tek fonksiyon vardır: boşfonksiyon. Pek de önemli olmayan bu olgu, birazdan, fonksiyonun matematiksel tanımı verdiğimizde bariz olacak.

Özdeşlik işlevi

Eğer $A$ bir kümeyse, her $x\in A$ için Id$_A(x)=x$ kuralıyla tanımlanan Id$_A:A\longrightarrow A$ fonksiyonuna $A$'nın özdeşlik fonksiyonu adı verilir. Özdeşlik fonksiyonu bileşkenin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır.

Bir işlevin kısıtlanışı

Eğer $f:A\longrightarrow B$ bir fonksiyonsa ve $A_1 \subseteq A$, $A$'nın bir altkümesiyse, o zaman $f$ fonksiyonunu $A_1$ altkümesine kısıtlayabiliriz, yani $f$'nin sadece $A_1$ kümesinin elemanlarında alacağı değerlerle ilgilenebiliriz. Bu yeni fonksiyon

$f_{|A_1}:A_1\longrightarrow B$

olarak yazılır ve bu fonksiyona $f$'nin $A_1$'e kısıtlanmışı adı verilir. Elbette eğer $A_2\subseteq A_1\subseteq A$ ise $(f_{|A_1})_{|A_2}=f_{|A_2}$ eşitliği geçerlidir.

Varış kümesini değiştirmek

Bir fonksiyonun varış kümesini de değiştirebiliriz: $f:A\longrightarrow B$ bir fonksiyon olsun. $B_1$, $f$'nin görüntü kümesi $f(A)$'yı altküme olarak içeren herhangi bir küme olsun. O zaman $A$ tanım kümesini ve $f$ kuralını değiştirmeden yeni bir $g:A\longrightarrow B_1$ fonksiyonu elde edebiliriz. Bu fonksiyon - daha önceki paragraftaki gibi - özel bir simgeyle gösterilmez.

İşlevlerin yapıştırılması ya da birleşimi

$f:A \longrightarrow V$ ve $g:B \longrightarrow V$ iki fonksiyon olsun. $A$ üzerinde $f$ olan, $B$ üzerinde $g$ olan ve $A\cup B$'den $V$'ye giden bir $f\cup g$ fonksiyonu tanımlamak istiyoruz. Eğer $x\in A\setminus B$ ise hiç kuşku yok ki $(f\cup g)(x)=f(x)$ olmalı. Eğer $x\in B\setminus A$ ise gene hiç kuşku yok ki $(f\cup g)(x)=g(x)$ olmalı. Ama $x\in A\cap B$ olduğunda, $(f\cup g)(x)$ için $f(x)$ ya da $g(x)$ arasında bir seçim yapmalıyız, özellikle eğer $f(x)\neq g(x)$ ise... Bu durumda hangi seçimi yaparsak yapalım istediğimiz iki koşuldan birini çiğnemek zorunda kalacağız. Ama diyelim ki, her $x\in A\cap B$ için $f(x)=g(x)$, yani $f$ ve $g$ fonksiyonları $A\cap B$ kesişiminde aldıkları değer aynı, bir başka deyişle $f_{|A\cap B}=g_{|A\cap B}$. O zaman $f\cup g:A\cup B \longrightarrow V$ fonksiyonunu herhangi bir seçime gerek kalmadan şöyle tanimlayabiliriz:

$(f\cup g)(x)=f(x)$ eğer $x\in A$ ise

$(f\cup g)(x)=g(x)$ eğer $x\in B$ ise.

Bu işleve $f$ ve $g$ fonksiyonlarının birleşimi ya da yapıştırılması adı verilir ve yukarda gösterildiği gibi bu fonksiyon $f\cup g$ olarak yazılır.

Örneğin $f: [0, \infty)\longrightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu $f(x)=x$ olarak tanımlanmışsa ve $g: (\infty, 0]\longrightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu $g(x)=-x$ olarak tanımlanmışsa, o zaman $f\cup g: A\cup B \longrightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu aynen mutlak değer fonksiyonudur: $(f\cup g)(x)=|x|$.

Elbette $(f\cup g)_{|A} = f$ ve $(f\cup g)_{|B} = g$.

Gene doğal olarak $f\cup g$ diye bir işlev varsa $g\cup f$ diye bir işlev de vardır ve bu iki işlev birbirine eşittir.

Yukardaki yapıştırmayı yapabilmemiz için $f$ ve $g$ fonksiyonlarının varış kümeleri aynı olmak zorunda değildi. Nitekim, eğer $f:A \longrightarrow U$ ve $g:B \longrightarrow V$ iki fonksiyon ise ve bu fonksiyonların $A\cap B$ kümesinde aldıkları değer eşitse, o zaman $A$ üzerinde $f$ olan, $B$ üzerinde $g$ olan bir $f\cup g: A\cup B \longrightarrow U \cup V$ fonksiyonunu gene tanımlayabiliriz.

İkiden çok, hatta sonsuz tane fonksiyonu da yapıştırabiliriz eğer gerekli koşullar sağlanıyorsa: $(f_i : A_i \longrightarrow V_i)_{i\in I}$ bir fonksiyon ailesi olsun. Ayrıca her $i,\,j\in I$ göstergeçleri (endisleri) için $f_i$ ve $f_j$ fonksiyonlarının $A_i \cap A_j$ kesişiminde aldıkları değerler eşit olsun. O zaman her $i\in I$ ve her $x\in A_i$ için $(\cup_{i\in I} f_i)(x)=f_i(x)$ eşitliğini sağlayan bir $\cup_{i\in I} f_i \longrightarrow \cup_{i\in I} V_i$ fonksiyonu,

"eğer $x\in X_i$ ise $(\cup_{i\in I} f_i)(x)=f_i(x)$"

kuralıyla tanımlanabilir. Bu tür yapıştırmalar topolojide ve analizde sık sık kullanılır.

Bir İşlevin Altkümeler Kümesinde Neden Olduğu İşlev. $f: A \longrightarrow B$ bir fonksiyon olsun. $A$'nın her $X$ altkümesi için, $B$'nin $f(X)$ altkümesi şöyle tanımlanır:

$f(X) = \{f(x) : x \in X\}$.

Bu $f(X)$ yazılımı ender de olsa soruna yol açabilir, çünkü $A$'nın $X$ altkümesi bal gibi de aynı zamanda $A$'nın bir elemanı olabilir, o zaman $f(X)$ ifadesinin $f:A\longrightarrow B$ fonksiyonunun $X$'te aldığı değer mi olduğu, yoksa yukardaki gibi $B$'nin altkümesi olarak mı tanımlandığı anlaşılamaz. Örneğin, $A=\{0, \{0\}\}$ olsun. $B = \{5, 6\}$ olsun. $f: A \longrightarrow B$ fonksiyonu, $f(0) = 5$, $f(\{0\}) = 6$ olarak tanımlansın. Ve son olarak $X=\{0\}$ olsun. $X$, hem $A$'nın bir elemanı hem de bir altkümesidir. $X$ eleman olarak görüldüğünde $f(X)=6$ olur ama altküme olarak görüldüğünde $f(X)=\{5\}$ olur. Belki bu yüzden

$f(X) = \{f(x) : x \in X\}$

tanımı yerine,

$\tilde{f}(X) = \{f(x) : x \in X\}$

tanımını yapmak daha yerinde olur.

Eğer $P(X)$, $X$'in altkümeleri kümesiyse, yukardaki $\tilde{f}$ kuralı, $P(X)$'ten $P(Y)$'ye giden bir fonksiyon tanımlar. Bu $\tilde{f}$ fonksiyonu altküme olma ilişkisine saygı duyar.

İlgili maddeler

• Birebir fonksiyon

• Örten Fonksiyon

• Eşleme

• Eşleşme

• Seçim Fonksiyonu

• Bileşke fonksiyon

X kümesindeki her eleman (bir giriş) , Y kümesindeki bir elemanla mutlaka eşlenmelidir. (bir çıkış)

Bu gösterim bir işlev (fonksiyon) değildir. (Bir girişe iki çıkış vardır.)

Örnek bir işlev (fonksiyon) grafiği
$\begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,1.5] \to [-1,1.5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}$

Gönderme Örnekleri

• Doğal sayılarda bir sayının ardılı bir göndermedir.

$g:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, \ A(x)=x+1$

• İki dğeişkenli göndermeler de vardır.

$h:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ h(x,y)=x^2-y^2$

• Verilen sıraya karşılık gelen çift sayıyı söyleyen bağıntı bir göndermedir: f(n)=2n.
• Bir küme üzerinde tanımlı bir ikili işlem, göndermedir: f(x,y)=x+y.
• Diziler birer göndermedir.

$f:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ için $f(x,y)=x+\mathbf{i}y$ yani $\mathbb{C} \equiv \mathbb{R} \times \mathbb{R}$

Tanım

A'dan B'ye tanımlı bir gönderme (f), (A,B,F) şeklinde gösterilebilen bir üçlüdür. Burada F, aşağıdaki özelliklere sahip sıralı ikili kümesidir. $F \subseteq A \times B$ $\forall a,b,c ~ ((a,b) \in F \wedge (a,c) \in F) \Rightarrow (b = c)$

Başka bir deyişle, bir bağıntının gönderme olabilmesi için, A kümesindeki herhangi bir öğenin B kümesinden en fazla bir öğeyle eşleşmesi gerekmektedir.

Gönderme, daha soyut matematiksel anlamda bir kümedir ve tanımı şu şekildedir: $f:A \rightarrow B$ göndermesi için, $f= \{ (x,y) | \forall x \in A \wedge \exists! y \in B \}$

buradaki $\exists !$ simgesi y nin biricik olduğunu ifade eder.

Yukarıdaki resmi tanımlama, her zaman kullanışlı olmadığından genelde göndermeler farklı tanımlanır.

En yaygın tanımlama biçimi, örneklerde görüldüğü gibi sağ tarafı girdilere (parametrelere) dayalı formül, sol tarafı göndermenin ve bağımsız girdilerin belirtildiği bir eşitliktir.

Göndermeler aşağıda örnekte görüldüğü gibi parçalı şekilde de tanımlanabilir.

$\text{mutlak}(x)= \begin{cases} -x & x < 0 \\ ~x & x \geq 0 \\ \end{cases}$

Tümevarımla yakın ilişkisi olan ilginç bir tanımlama biçimi de yinelgedir. Örneğin Fibonacci Serisi'nin üretici göndermesi şu şekilde tanımlanabilir.

$f(n)= \begin{cases} n & 0 \leq n \leq 1 \\f(n-1)+f(n-2) & n > 1. \\ \end{cases}$

Boylece $\mathbb{N}$'den $\mathbb{N}$'ye giden bir $n\mapsto f_n$ fonksiyonu tanımlanır.

Göndermelerin Kümesel Özellikleri

$f:A \rightarrow B$ şeklinde tanımlı bir gönderme,

• Birebir ise, A kümesinde tanımlı olduğu her değeri B kümesinden ayrı bir öğeye eşler,

Matematiksel olarak ;her x1,x2 €A için f(x1)=f(x2) => x1=x2

• İçine ise B kümesinde, eşlenmemiş en az bir değer vardır,
• Örten ise A kümesindeki bütün öğeler için tanımlıdır.

Matematiksel olarak ; her y € B için en az bir x€A vardır öyleki ; f(x)=y'dir.

Bilgisayar Bilimi ve Göndermeler

Bilgisayarda göndermelere Türkçe'de genellikle işlev ya da fonksiyon adı verilir.

• Bilgisayar biliminde hesaplanabilir işlevler, birbirine eşdeğer olan Church ve Turing Tezleri ile incelenir.
• Girdisi ve çıktısı mantıksal (ikili ya da Boolean) olan işlevler, BDD'ler yardımıyla gösterilebilir.