Örnekleme
Vikipedi, özgür ansiklopedi
İstatistik bilim dalında örnekleme, N hacimli bir anakütleden, anakütleyi temsil edebilen n hacimli bir altset elde edilmesidir. Tipik olarak anakütle çok büyüktür veya tüm anakütle elemanları hakkında bilgiler elde etmek imkansızdır veya elde etmek için anakütleyi değiştirmek veya elemanlarına zarar vermek gerekecektir veya çok büyük masraf ve emek gerektirecektir. Bu nedenle tam sayım ile tüm sayısal değerlerin öğrenilmesi istenmez. Örnekleme ile kullanılabilir bir büyüklükte altset elde edilir. Örnek verileri toplanır; örnek verileri hakkında istatistikler hesaplanır ve örnek istatistikleri üzerinde sonuç çıkartıcı istatistik veya ektrapolasyonlar kullanarak anakütle hakkında bilgiler elde edilir.
Örnegin, Turkiye'de üniversite öğrencilerinin fen bilimleri hakkındaki tavırları ölçülmek istensin ve bu tavırları açıklayan 10 soruluk bir anket hazırlanabileceği bilinsin. "Türkiye'de 2006-2007 öğretim yılında üniversite öğrencisi" olanların tümünün bu 10 soruya sayısal şekilde yanıt verdiği varsayılsın. Her bir soruya verilen yanıtın sayısal değerlerinin tümü birer anakütle olur. Burada dikkat edilecek nokta, istatistik bilimi için anakütlenin sayısal değerler olması ve üniversite öğrencisi olmamasıdır. Üniversite öğrencilerinin hepsi anakütle çerçevesi olarak anılır. Bu türlü sonuç bulmak ya imkansızdır; ya da büyük emek, para ve zaman istemektedir. Bu nedenle örnekleme methodunun uygulanması tercih edilir.
Bu anakütlenin örneklemini elde etmek için anakütle çerçevesi olan 2006-2007 öğretim yılında Türkiye'deki üniversitelerde okuyanlardan küçük bir grup seçilir. Bu, daha küçük grup elemanlarına örnekleme çerçevesi adı verilir. Eğer her üniversiteden uygun bir sayıda öğrenci çeşitli örnekleme tekniklerini kullanarak seçilirse, bunların tümü örnekleme çerçevesini oluşturur. Yine örneği açıklamaya devam edersek, bu daha nisbeten küçük gruba (dikkat edilirse örneğinde verilen örnekleme çerçevesi yine de sayıca küçük olmaz) bu hazırlanmış on soruluk anket uygulanır. Her 10 soruya bu küçük grup elemanlarının verdiği sayısal yanıtlar birer örnekleme olur. Örnek, örnekleme çerçevesi üzerinde belirlenmiş bir değişken üzerinde yapılan sayım veya ölçüm ile elde edilen sayısal verilerdir. Tekrar dikkat çekilmelidir ki istatistik bilimi için örnek kavramı özel bir şekildedir ve genelde kullanılan örnek sözcüğü anlamından değişiktir. İstatistik için örnek çerçevesi elamanları (bu örnekte seçilen üniversite öğrencileri) örneklemi oluşturmazlar; her örnek çerçevesi elemanından bir değişken hakkında elde edilen sayısal veriler (bu örnekte her bir 10 soruya verilen sayısal yanıtlar) örnek oluştururlar.
Konu başlıkları |
[değiştir] Örnekleme teknikleri
[değiştir] Genel örnekleme tekniği tanımı
Yukarıda anakütle çerçevesinden uygun bir şekilde bir daha ufak örneklem çerçevesi elde edilir denilmişti; işte bu uygun şekillerin incelenmesi örnekleme tekniklerinin incelenmesi demektir. Genel olarak örneklem çerçevesinin anakütle çerçevesinden elde edilmesi için prensip örnek çerçevesinin anakütleyi temsil edici olmasıdır. Örnek verileri bir art fikirle bazı kişisel veya grupsal fikir ve prensiplere güya bilimsel bir destek sağlamak için kullanılmaması gerekmektedir; ama ne yazıktır ki pratikte birçok ticari, sinai, sosyal ve politik örnek bu niyetle elde edilip kullanılmakta ve genel gerçekte temsilci olma prensipinden uzaklaşılmaktadır. Bu istatistikle yalan söyleme şeklinde adlandırılabilen birçok araştırmalarda ele alınan bir konu olmuştur. [1]
Eğer temsilci olma prensibine uygunluk arzu edilmekte ise örnekleme tekniği seçimi için iki genel teknik grubu bulunmaktadır:
- İstatistiksel olasılık prensiplerine dayanmayan teknikler ve
- İstatistik olasılık prensiplerine dayanan rastgele örnekleme teknikleri.
Bu kavramsal ayrımı sağlayan prensip, olasılık prensipleridir ve bu prensiplere uyan örnekler rastgele örnek adı ile anılmaktadır. Rastgele örnek için kullanılan prensip genel olarak
- anakütle çerçevesi içinde bulunan her elemanın örnek çerçevesi içine alınma olasığının önceden belirlenmiş bir olasılık dağılıma göre olmasıdır.
Fakat genel olarak seçilen olasılık dağılımı Bernoulli dağılımı olduğu için birçok referansda bu prensip
- anakütle çerçevesi içinde bulunan her elemanın örnek çerçevesi içine alınma olasığının eşit ve aynı olmasıdır.
şeklinde ifade edilmektedir. Dikkat edilirse rasgele örnek için temsilcilik prensipi özel olarak matematik-istatistik içeriğine göre değiştirilmiştir; belirlenmiş bir dağılıma göre olasılık , eşit olasılık prensibi ön plana alınmıştır. Eğer anakütle elemanları için bu prensip uygulanırsa, bunun mantıksal olarak temsilcilik prensipine uyacağı da ima edilmektedir. Burada bu iki grup örnekleme tekniğine ait olan teknikler genel olarak detaya inmeden açıklanacaktır.
[değiştir] Olasılık prensiplerine uymayan örnekleme teknikleri
[değiştir] Elverişlilik örneği
Elverişlilik örneği metodunda örnek çerçevesine girecek anakütle elemanları araştırmayı yapanın keyfine göre plansız tasarımsız seçilir. Örnek seçiminde önemi olan prensip elde edilen örneğin istatistik araştırmayı yapan kişi için elverişli olmasıdır. Eğer araştırmacı bilinçli, inanılır ve güvenilir bir kişi ise örneklemin anakütlenin temsilcisi olma imkanı vardır ama bunun gerçekte geçerli olup olmadığını kontrol edecek hiç bir alet veya kural ortada bulunmamaktadır. Bu çeşit örnekleme daha sonra bir rastgele örnek almak için bir pilot çalışma için kullanılması çok kere tavsiye edilmektedir.
[değiştir] Mekanik örnekleme
Laboratuarlarda, fabrikalarda ve diğer üretim kurumlarında test ve kontrol maksadı ile katı maddeler, sıvılar veya gazlar mekanik araç ve gereçler kullanılarak örneklem alınır. Özellikle kalite kontrolu sürecinde ve diğer testler ve kontrollar için bu mekanik örneklerin anakütlelerinin temsilcisi olması gerekmektedir.
[değiştir] Yargısal örnekleme
Yargısal örnekleme bir uzman kişi veya bilirkişinin kendi özel bigisini ve yargısını kullanarak temsilci olma niceliğini taşıyan elemanlar ile bir örnek çerçevesi kurmasıdır.
Bu çeşit örneklemlerde çok kere bilinmeyen ve daha önceden hiç tahmin edilme imkanı olmayan yanlılıklar ortaya çıkar. Örneklem seçme usulu ve protokollerinin kuruluşu ve kullanışı sırasında şeffaflık olmadığı için bilinmezliklerin nerede ve nasıl ortaya çıkabilecekleri ve nasıl yanlılıkların aksi tesirlerinin, nasıl çarelerle giderilebilineceği bilinmez.
Bazı hallerde yargısal örnekleme kullanışlı ve hatta tercih edilir örnek alma tekniği olabilir. Rastgele örneklemenin imkansiz veya çok büyük zaman, emek ve para sarfı gerektirdiği için kullanışsız olduğu hallerde yargısal örnekleme gayeye uygun veriler ortaya çıkartabilir. Diğer bir uygun olma hali eğer kullanılacak örnek çok küçük ise ('10' veya daha aşağı sayıda veri öngörülüyorsa), bir rastgele örneke nazaran, bir yargısal örnek bulmak daha güvenilir ve daha iyi temsilci olma özelliği taşıyan bir örneklem ortaya çıkartabilir. Bazan kasten hiç temsilci olmayan ve gayet yanlı bir örnek kasten seçilmek istenebilir ve bu halde yargısal örnek tercih edilir. Bu kasten yanlı olarak yargısal örnek seçimi, araştırma konusunun en fena alternatif halini incelemek için çok uygundur.
[değiştir] Kota örneği
Bu çeşit örneklemede anakütlede tabakalar bulunduğu ve bu tabakalara ait olan elemanların birbirlerine çok benzer özellikler gösterdiği, fakat değişik tabakaya mensup elemanların özelliklerinden açıkca farklı oldukları bilinmektedir. Araştırmacı önce bu tabakaların özelliklerini tam olarak saptar ve değişik tabakaları birbirinden ayırt eden özellikleri tesbit eder. Çok kere bu tabakaları ayırt edici özellikler kişilerin sosyo-demografik özellikleri olur. Buraya kadar yapılan işlemler aynen olasılık prensibine uyan tabakalı örneklemede de uygulanır.
İkinci adım olarak kota örneklemede her veri toplayıcısına, tesbit edilmiş her tabaka için aldıkları örnekte (cok kere anket sorularını cevaplandırıcı sayısı olan) kaç gözlem ile bulunacağını tesbit eden bir kota sayısı verilir.
Bundan sonra veri toplayıcılar kendilerine verilen her tabaka için kota sayısına göre kendi şahsi yargılarını kullanarak veri toplarlar. Bu adım tıpkı bir yargısal örnekleme gibidir; ama yargıyı uygulayanlar çok defa, uzman kişi veya bilirkişiler değil, gerçek veri toplayıcılardır.
[değiştir] Kartopu örneklemesi
Bu örneklemede önce bir çekirdek örneklem, elverişlilik örneği gibi araştırmayı yapan tarafından kendi keyfine göre bulunur. Ondan sonra ki örneklem elemanları ise daha önce bulunmuş olan (çekirdek elemanlar ve onların seçtiği diğer) elemanlar tarafından bulunurlar. Örneklem böylece, sanki karda itilerek büyüyen, bir kartopu gibi büyüme gösterir.
[değiştir] Rastgele örnekleme
Rastgele örnekleme olasılık örneklemesi olarak da adlandırılır. Rasgele örneklem bulma ve kullanma için istenilen özellik:
- "Herbir anakutle elamanının belirli olasılıkla örneklemde bulunmasıdır."
Bundan açıktır ki istenilen özellik doğrudan doğruya örneklemin anakütle için temsilci olması değildir. Temsilci olma prensibine rastgele örnekleme biraz dolaylı olarak varmaktadır. Rastgele örneklem kavramı ve prensibi temsilci olmama riskini bir seri istatistik teori kavramı ile niceliksel olarak açığa çıkarmaya yöneliktir. Bu niceliksel sonuçlar önce hangi çeşit rastgele örneklemenin seçilmesi ve sonra ne kadar büyük bir örneklem hacmi elde edilmesi gerektiğine karar vermekte kullanılır. Bu örneklem alınmasından önce karar verme yanında, örneklem alındıktan sonra ölçülmüş sonuçlara bağlı örnekleme hatasını hesaplamaya yardım sağlar.
Belirli olasılık teriminin tanımlanmasına göre değişik türlü rastgele örneklem ortaya çıkabilir. Bunlardan en iyi bilineni basit rasgele örneklemdir. Bu türlü örneklemenin ana prensibi her bir anakütle elemanının aynı olasılıkla örnekleme girebilmesidir. Yani her bir anakütle elemanı için örneklemde bulunma olasılığı bir Bernoulli dağılımı gösterir. Diğer türlü belirli olasılık her bir anakütle elemanının Poisson dağılımına göre (birbirine eşit olmayarak) örneklem içinde bulunmasıdır.
Ancak rastgele örneklemler için sınıflandırma (gösterilen olasılık dağılımına göre yapılmamakta) daha pratik olarak nasıl rastgele olmanın sağlanma yöntemine dayanılmaktadır. Bu sınıflandırmaya göre rastgele örnekleme sınıfı içinde şu değişik örnekleme tipi mevcuttur:
- Basit rastgele örnekleme
- Örüntülü örnekleme
- Tabakalı örnekleme
- Küme örneklemesi
- Çok aşamalı örnekleme
- Eşli rastgele örnekleme
[değiştir] Basit rastgele örnekleme
Basit rasgele örneklem almanın ana prensibi her bir anakütle elemanının aynı olasılıkla örnekleme girebilmesidir. Bu bir olasılık örneklemi tanımına uyar, çünkü her bir anakütle elemanı için örneklemde bulunma olasılığı bir Bernoulli dağılımı gösterir. Eğer anakütle büyüklüğü N ile ifade edilirse, her bir anakütle elemanı 1/N olasılıkla örneklemde bulunur.
Bu prensibi uygulamak için şu aşamalar uygulanır:
- Anakütlenin her bir elemanı tesbit edilir ve tesbit edilen elamanların her birine bir sayısal kod verilir. Genellikle kodlar birbirini takip eden sayılar halinde sıralama düzeni halindedir ve sanki sayısal bir isimdir.
- İkinci aşamada en uygun örneklem hacmi, yani n, tayin edilir.
- Bir rassal numara üretici alet kullanılarak istenilen n sayıda (birbirinden değisik olması tercih edilir) rastgele sayı çıkartılır. Rassal sayılar gayet çok olduğu için bir çeşit geri koymadan örnek alma deneyim sonucu olan n tane rasgele sayı aynı olasılığa haizdir.
- Bu rasgele n numara anakütle elemanlarının kodları ile karşılaştırılır. Kod numarası, çekilmiş olan rasgele sayıya eşit olan elemanlar örneklem elemanı olarak seçilirler.
[değiştir] Örüntülü örnekleme
Bu olasılık örnekleme yöntemin ana prensibi bir anakütle çerçevesi içinde bulunan herbir elemana sıra bir kod numarası verilebilirse, rastgele seçilmiş veya hesaplama ile bulunmuş bir kod aralığı olan k aralığı ile her kinci elemanın gözlem yapılacak örnekleme seçimidir. Örneğin, belli bir universitede kayıtlı öğrenci numaraları belli bir numaradan başlayıp giden bir sıraya tabi iseler ilk olarak bir rastgele kayıt numarası seçilir ve sonra bir rastgele aralık numarası seçilir; diyelim 54 başlangıç kayıt numarası ve 12 de kod aralığı rastgele seçilmiş olsun. Örüntülü örnekleme dahil edilecek öğrenci elamanlarin şu kayıt numaraları olmalıdır:
- 54 66 78 90 ...... önceden seçilmiş n tane örneklem hacmi elde edilinceye kadar.
[değiştir] Tabakalı örnekleme
Bu çeşit olasılık örnekleme yönteminde anakütlenin tabakalardan oluştuğu gerçeği kabul edilmektedir. Her tabaka elemanı bir veya bir grup teşhis edici değişken değeri dolayısyla birbirlerine çok benzedikleri kabul edilirler. Bu çeşit teşhis edici değişken(ler) için değerler tabakalar arasında çok farklıdır. Birçok sosyal bilim araştırması için bu teşhis edici değişken bir veya birkaç şahsi veya ekonomik veya sosyal özelliklerden oluşur.
Örneğin temsilcilik prensibine uyması için anakütlenin her bir tabakasından değişik sayıda örnek seçilir ve örnek de (ayni anakütle gibi) tabakalı olur. Genel olarak her anakütle tabakası ve örnek tabakası elemanları arasında ilişki kurulabilir. Orantılı tabakalar denilebilen bir tipe göre anakütle içinde her bir tabakanın toplama oranı, örnek tabakasının örnek büyüklük hacmine oranı ile aynıdır. Bu oran en popüler olarak tabaka içindeki teşhis edici değişiklik karaketeri taşıyan elemanların sayısı ile toplam orantılıdır. Diğer bir alternatif standart sapmaların oranı olabilir. Diğer alternatifte orantısız tabakalar adı verilir ve daha başka yargısal seçimlerle örnek tabaka elemanlari anakütle tabakalarına temsilci olması sağlanır.
[değiştir] Küme örneklemesi
Bu şekilde örnekleme genellikle örnekleme zaman ve para maliyetlerini düşük tutmak için kullanılmaktadır. Anakütle çerçevesi elamanlarının birbirine yakın kümeler oluşturduğu hallerde ve her bir küme genel olarak diğer kümelere çok benzerlerse, bu tipi örnekleme kullanılması uygun olabilir. Örneğin anakütle çerçevesi belli bir üniversite olursa, o üniversite içindeki değişik bölümlerde bulunan öğrencilerin benzer özellikler gösterdikleri kabul edilebilir ve bölümler incelenen sorun için birbirinden çok değişik değillerse, bölümler birer küme olarak incelemeye taban olabilirler. Bu kümeler mekan içinde (örneğin şehrin değişik mahalleleleri veya Amerika'daki gibi değişik şehir blokları) veya zaman içinde (belirli zaman dönemleri) olabilir.
Küme örneklemesi iki aşamada yapılır:
- Birinci aşamada çok iyi belirlenmiş kümeler tesbit edilir. Her iyi belirlenmis kümeye bir kod numarası verilir. Bütün kod numaraları içinden basit rastgele örnekleme ile küçük sayıda 'kümeler örneklemi' seçilir. Örneğin, bir üniversite 35 tane bölüden oluşmuşsa ve her bölüme ait öğrenci üyeler iyice tesbit edilmişlerse; herbir bölüm kodlanır ve diyelim 8 tane bölüm bu 35 bölümden basit rastgele örneklem olarak (yani 35 bölüm de örnekleme dahil olmak için aynı olasılığı taşıyarak) seçilirler.
- İkinci aşamada her bir örnekleme giren küme içinde bulunan bütün anakütle elemanları üzerinde gözlem yapılır. Yani her örneklem küme için tam sayım yapılır. Örneğin, ilk aşamada seçilmiş olan 8 bölümdeki her öğrenci elemanlarınin tümüne gözlem uygulanır.
Doğal olarak, tüm anakütle çerçevesi seçilmediği için zaman ve para maliyetleri tam sayımdan düşük olur. Dikkat edilirse bu çeşit örneklemede rasgele seçilme kümelerle ilgilidir. Bu seçim yapıldıktan sonra seçilen kümeler içinde bulunan birbirine yakın elemanlar gözümlendiği için de maliyetler (özellikle basit rastgele örneklemeye kıyasla) daha düşük olması çok mümkündür. Basit rastgele örneklemeye kıyasla küme örneklemesinin bir diğer avantaji, tüm anakütle elemanlarının herbirinin kodlanmasının gerekmediğidir; bu tüm kodlama büyük maliyet gerektirir ve bazan da imkansızdır. Buna karşılık küme örneklemesisinde sadece birinci aşamada seçilmiş olan kümeler elemanları tesbit edilip kodlanır.
Ancak küme örneklemesi, herbir kümenin diğer kümelere benzediğine ve sadece kendine has karakteri olan bir veya birkaç kümenin bulunmadığı varsayımına dayanır. Gerçekte bu varsayım her zaman ancak yaklaşık olarak doğru olacak ve bazı belirlenen kümeler kendine has karakter arz edecektir. Bu nedenle küme örneklemesinin yayılımı ayni anakütle için alınabilecek basit rastgele örneklemeden daha fazla olacaktır ve örneklemeden sonra elde edilecek kestirimler veya yapılan sınamalar daha az tutarlı olacak ve daha fazla yanlı olma olasılığı taşıyacaklardır.
[değiştir] Çok aşamalı örnekleme
Çok aşamalı örnekleme küme orneklemesinin biraz daha karmaşık bir şeklidir. Küme örneklemesi için basit rastgele örnek olarak seçilmiş kumeler gerekmekte ve secilen kumeler içinde tamsayım yapılması önerilmektedir. Bu tamsayım (ya parasal veya diğer kaynak kullanımına göre) çok maliyetli ve hatta imkansiz bile olabilir. İki aşamalı örneklem için birinci aşamada (aynı küme örneklemesi gibi) basit rastgele örnekleme ile belirli sayıda küme seçilir. Bundan sonra ikinci asamada kullanılan çerçeveler ilk aşamada seçilmiş kümeler olur. Her seçilmiş küme için basit rastgele örnekleme uygulanıp tüm küme haciminden daha ufak sayıda örnekleme girecek elemanlar seçilir. Nadir hallerde ikiden fazla aşama da uygulanabilir. Bunda ilk aşama küme seçmektir; ondan sonraki aşama veya aşamalarda gittikce birbiri içine girmiş alt-küme, alt-alt-küme vb. seçmek amaçtır ve en son asamada ise seçilmiş alt-alt..-küme içinden basit rasgele orneklem seçilir. Bu son aşamada elde edilecek örneklem hacminin kaç eleman ihtiva edeceği kararı önemlidir. Eğer örneklem büyüklüğü ile anakütledeki küme (veya alt-alt-..-küme oranında eşitlik istenirse herhangi bir seçilen küme içinde bulunan tüm anakütleye orantılı eleman sayısı son aşama örneklem büyüklüğü seçiminde de aynen uygulanır.
[değiştir] Eşli rastgele örnekleme
'Eşli rastgele örnekleme birbirine bağlantısı olan iki örnekleme elaman seçimini kapsar. Anakütle elamanları önce diğer bir karekteristiğe veya değişkene göre eşlenerek o değişkeni inceleyecek örneklemlere seçilmiş olurlar. İnceleme yapılacak diğer bir karakteristik veya değişken için kullanılacak bu önceden eşlenmiş elamanları nasıl rastgele bu yeni değişken için örneklemlere tahsis edileceği eşli rasgele örnekleme yöntemi kullanılarak yapılır.
Bu çeşit olasılık örneklemi bulmak özellikle şu iki halde çok uygundur:
- Araştırıcı birbirine doğal veya diğer özel karektere göre eşli olan elemanları bulmuştur. Bu eşli elamanlar yeni bir araştırma sorunu incelemek için örneklenmeleri eşli rastgele örneklem yöntemi ile yapılır. Örneğin önceden bulunan iki örneklemden birine bir özdeş ikiz ve diğerine öbür ikiz tahsis edilmiştir. Yeni incelenecek sorun zeka testi sonuçlarıdır. Eşli rastgele örneklem' yöntemi ile daha önceden iki örnekleme ayrılan özdeş ikizler için yeni bir örneklem bulması yöntemidir.
- Bir vasıf veya değişkene göre örneklem elemanları üzerine iki defa ölçüm uygulanır; ikinci uygulama birinci örnekleme özel bir sağıltım uyguladıktan sonra yapılır. Bu çeşit ölçüme tekrarlanan ölçümler adı verilir. İkinci ölçüm için örneklem seçimi eşli rastgele örnekleme yöntemine göre yapılır. Örneğin, bir grup 1500m koşucusuna özel bir antreman usulu tatbik etmeden önce ve ettikten sonra elde edilen koşu zamanı ölçümleri.
[değiştir] Formel matematiksel rastgele örnek seçme tanımı
Matematik olarak rastgele örnek daha formel bir şekilde tanımlanır. X olasılık dağılımı F olan verilmiş bir rassal değişken olsun. n=1, 2 ,3,... büyüklüğü olan bir rastgele örnek F dağılımı olan n tane bağımsız ve herbiri ayni şekilde dağılım gösteren n elemanı bulunan bir settir.[2]
Bir örnek somut şekilde, herbir denemede aynı miktar ölçülürse n tane denemeyi temsil eder. Örneğin, biz universite öğrencilerini boyu ile ilgili isek X bir öğrencinin boyu olur ve n tane öğrenci boyu ölçümlenir ve Xi i-inci öğrencinin boyunu ifade eder. Fakat (bir sıra ölçülebilir fonksiyondan olusan) bir rassal değişkenler örneklemi ile bu rassal değişkenlerin gerçekleşmelerini (yani rassal değişkenin almış olduğu değerleri) kavramsal olarak ayrı tutmak gerekmektedir. Diğer bir deyişle, Xi ii-inci denemedeki ölçmeyi temsil eden bir fonksiyon olmakta ve xi = Xi(ω) gerçekte yapılan ölçmelerden elde edilen sayılar olmaktadır.
Böylece matematik açıklamaya göre örneklem kavramı verilerin (yani rassal değişkenlerin) nasıl elde edilmeleri sürecini açıklamaktadır. Bu gereklidir çünkü örnek ve bundan elde edilen [[örnek istatistikleri]] hakkında matematik ifadelerin verilmesi gerekmektedir.
[değiştir] Referanslar
- ^ D.Huff, [1993] How to lie with statistics, W.W.Norton & co.
- ^ Wilk,Samuel S. (1962), Mathematical Statistics, John Wiley, Bol.8.1
