Çokludoğrusal harita

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Çokludoğrusal cebir veya daha genel olarak doğrusal cebirde, bir çokludoğrusal harita her değişken içinde ayrı ayrı doğrusal birkaç değişkenin bir fonksiyondur. Daha kesin olarak, çokludoğrusal harita şöyle bir fonksiyondur:

f\colon V_1 \times \cdots \times V_n \to W\text{,}

burada V_1,\ldots,V_n ve W\!, tüm v_i\! değişkenleri sabit tutulan her i\! için, aşağıdaki özellikleri sağlayan vektör uzayları (veya modülleri) oluyorsa, f(v_1,\ldots,v_n) ifadesi v_i\!'nin bir doğrusal fonksiyonudur.

İki değişkenin bir çokludoğrusal haritası bir çiftdoğrusal haritadır. Daha genel bir ifade ile, k değişkeninin bir çokludoğrusal haritası k-doğrusal harita olarak adlandırılır. Eğer bir çokludoğrusal haritanın ko-domeni, skalerin alanı ise o bir çokludoğrusal form olarak adlandırılır. Çokludoğrusal haritalar ve çokludoğrusal formlar çokludoğrusal cebrin çalışmasında temel nesnedir.

Tüm değişkenler aynı alana ait ise, k-doğrusal haritası için, simetrik, antisimetrik ve alternatizasyon kavramlarından bahsedilebilir.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Koordinat gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki

f\colon V_1 \times \cdots \times V_n \to W\text{,}

sonlu boyutlu vektör uzayları arasında bir çokludoğrusal haritası olsun. Burada V_i\! boyutu d_i\!'dir ve W\! boyutu d\!'dir. Her bir V_i\! için \{\textbf{e}_{i1},\ldots,\textbf{e}_{id_i}\} ve W\! için \{\textbf{b}_1,\ldots,\textbf{b}_d\} taban seçersek, A_{j_1\cdots j_n}^k skalerlerini şöyle ifade edebiliriz:

f(\textbf{e}_{1j_1},\ldots,\textbf{e}_{nj_n}) = A_{j_1\cdots j_n}^1\,\textbf{b}_1 + \cdots +  A_{j_1\cdots j_n}^d\,\textbf{b}_d.

Ardından \{A_{j_1\cdots j_n}^k \mid 1\leq j_i\leq d_i, 1 \leq k \leq d\} skalerleri, f\! çokludoğrusal fonksiyonunu tam olarak tanımlar.

Özel olarak eğer, 1 \leq i \leq n\! için,

\textbf{v}_i = \sum_{j=1}^{d_i} v_{ij} \textbf{e}_{ij}\!

oluyorsa,

f(\textbf{v}_1,\ldots,\textbf{v}_n) = \sum_{j_1=1}^{d_1} \cdots \sum_{j_n=1}^{d_n} \sum_{k=1}^{d} A_{j_1\cdots j_n}^k v_{1j_1}\cdots v_{nj_n} \textbf{b}_k olur.

Tensör çarpımıyla ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada, çokludoğrusal haritalar arasında doğal bire-bir karşılaştırma yapılmıştır.

f\colon V_1 \times \cdots \times V_n \to W\text{,}

ve doğrusal haritalar

F\colon V_1 \otimes \cdots \otimes V_n \to W\text{,}

burada V_1 \otimes \cdots \otimes V_n\! ifadesi V_1,\ldots,V_n tensör çarpımıdır.

f\! ve F\! fonksiyonlar arası ilişki şu formül ile verilir:

F(v_1\otimes \cdots \otimes v_n) = f(v_1,\ldots,v_n).

n×n matrislerindeki çokludoğrusal fonksiyonlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir K değişmeli halkasındaki n×n matrisindeki çokludoğrusal fonksiyonlar, matrisin satırları (veya eşdeğer sütunları) olarak ifade edilir. Diyelim ki A gibi bir bir matris ve a_i, Anın 1 ≤ in aralığındaki satırları olsun. Bu durumda D çokludoğrusal fonksiyonu şöyle yazılabilir:

D(A) = D(a_{1},\ldots,a_{n}) \,

Daha geniş bir ifade ile;

D(a_{1},\ldots,c a_{i} + a_{i}',\ldots,a_{n}) = c D(a_{1},\ldots,a_{i},\ldots,a_{n}) + D(a_{1},\ldots,a_{i}',\ldots,a_{n}) \,

\hat{e}_j ifadesini, tanım matrisinin j.inci satırı olarak ele alırsak, her bir a_{i} satırını şöyle olur.

a_{i} = \sum_{j=1}^n A(i,j)\hat{e}_{j}

Dnin çokludoğrusallığı kullanılarak D(A) yı yeniden yazalım;


D(A) = D\left(\sum_{j=1}^n A(1,j)\hat{e}_{j}, a_2, \ldots, a_n\right)
       = \sum_{j=1}^n A(1,j) D(\hat{e}_{j},a_2,\ldots,a_n)

Her a_i için 1 ≤ i ≤ aralığında sürekli yerine konulursa,


D(A) = \sum_{1\le k_i\le n} A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n}) D(\hat{e}_{k_{1}},\dots,\hat{e}_{k_{n}})

Burada seçtiğimiz  1 \le i \le n aralığında;


 \sum_{1\le k_i \le n} = \sum_{1\le k_1 \le n} \ldots \sum_{1\le k_i \le n} \ldots \sum_{1\le k_n \le n} \,

İç içe toplamlar serisi elde edilir.

Burada, \hat{e}_{k_{1}},\dots,\hat{e}_{k_{n}} satırlarında D fonksiyonu vasıtasıyla D(A)'nın nasıl elde edildiği görüldü.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

2×2 matrisleri şöyle yazılır;


D(A) = A_{1,1}A_{2,1}D(\hat{e}_1,\hat{e}_1) + A_{1,1}A_{2,2}D(\hat{e}_1,\hat{e}_2) + A_{1,2}A_{2,1}D(\hat{e}_2,\hat{e}_1) + A_{1,2}A_{2,2}D(\hat{e}_2,\hat{e}_2) \,

Burada \hat{e}_1 = [1,0] ve \hat{e}_2 = [0,1]'dir. D'yi bir alternatif fonksiyon olarak sınırlandırırsak;

D(\hat{e}_1,\hat{e}_1) = D(\hat{e}_2,\hat{e}_2) = 0 ve D(\hat{e}_2,\hat{e}_1) = -D(\hat{e}_1,\hat{e}_2) = -D(I) olur. D(I) = 1 olursa, 2×2 matrisinde şu determanant fonksiyonunu elde ederiz:

D(A) = A_{1,1}A_{2,2} - A_{1,2}A_{2,1} \,

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Çokludoğrusal haritada bir sıfır değeri varsa, bağımsız değişkenlerden biri sıfır olur.

n>1 için, yalnızca n-doğrusal harita ve sıfır fonksiyonudur. Çifte doğrusallık#Örneklere bakınız.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]