Çift kutupsal koordinatlar

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Bipolar koordinat sistemi

Bipolar koordinatlar bir iki-boyutluortogonal koordinat sistemidir. Burada bipolar koordinatların ortak tanımlanan tipleri ikidir.[1] İlk temeli Apollonian çemberidir. sabitin eğriliği σ ve τ bu çemberler arasındaki dik açılardır.Koordinatların ikiodak F1 ve F2dir,genellikle tespit edilen yer sırasıyla (−a, 0) ve (a, 0)dir,biri Kartezyen koordinat sistem'nin x-eksenidir . İkinci sistem iki-merkezli bipolar koordinatlardır. Burada ayrıca bir üçüncü koordinat sistemi iki kutup dayalı (çift açısal koordinatlar)dır.

"Bipolar" ifadesi bazen iki tekil nokta (odakları)ya sahip olan diğer eğrileri tanımlamak için kullanılır elips ler, hiperbol ler ve Cassini oval ler gibi. Ancak bipolar koordinatlarda bu ifade burada açıklanan koordinatlar için ayrılmış, ve bu gibi eğrileri ile eliptik koordinatlar gibi ilişkili koordinatları tanımlamak için asla kullanılmazlar.

Bipolar koordinatları geometrik yorumu. Bu açı σ iki odak ve P noktası tarafından, tanımlanan ve burada τ uzunluk kesrinin logaritmasının odaklarıdır.sabit σ ve τnın ilgili daireleri sırasıyla kırmızı ve mavi ile gösterilmiştir, onlara dik olan dik açı(kırmızı kutu)ya karşı gelir;

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Bipolar koordinatların en yaygın tanımı(στ) dır


x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}

y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}

Buradaσ-bir noktanın koordinatları P eş açıF1 P F2 veτ-eş koordinatlar uzunluğun kesrinin doğal logaritması d1 ve d2 odakları


\tau = \ln \frac{d_1}{d_2}

(şunu hatırlaF1 ve F2 (−a, 0)yerleşiktir ve (a, 0)) Eşdeğeri


x + i y = a i \cot\left( \frac{\sigma + i \tau}{2}\right)
[2][3]

σ ve τsabitlerinin eğrilikleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Bipolar sigma isosurfaces.png
Bipolar tau isosurfaces.png

σ sabitinin eğriliğine eş merkezli olmayan daireler karşılık gelmektedir.


x^2 +
\left( y - a \cot \sigma \right)^2 = \frac{a^{2}}{\sin^2 \sigma}

iki odak kesişiyor. σ-sabitinin merkezleridir çember y-eksenine yatar. Pozitif Çemberleriσ yukarıdax-ekseninin merkezidir, negatif olanlar ise eksen altında yatmak σ.. büyüklük |σ| artıcıdır, daire yarıçapı azalır ve merkezi orijinine yaklaştığında(0, 0), ki ulaşıldığında |σ| = π/2, maksimum değerdir.

\tau sabitinin eğriliği are farklı yarıçapları olmayan kesişen dairelerdir


y^2 +
\left( x - a \coth \tau \right)^2 = \frac{a^2}{\sinh^2 \tau}

Odaklar çevreler ama yine eş değildir.τ-sabitinin merkezleri x-eksenine yatan çemberlerdedir.Bu çemberler pozitif çemberler τ (x > 0) düzleminin sağ tarafına yatıktır, τ çemberi negatif ve (x < 0) düzlemininin sol tarafına yatıktır. The τ = 0 eğrisine tekabül y-ekseni(x = 0)dir. τ büyüklüğünün artışı, odak merkezleri yaklaştığında daireler azalır.

Ölçek faktörleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Ölçek faktörleri bipolar koordinatlar için (στ) eştir.


h_\sigma = h_\tau = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}

Böylece, sonsuz alanda elemanı eşittir.


dA = \frac{a^2}{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^2} \, d\sigma\, d\tau

ve verilen Laplasyenşudur.


\nabla^2 \Phi =
\frac{1}{a^2} \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^2
\left( 
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \sigma^2} + 
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \tau^2}
\right)

Bunun gibi diğer diferansiyel operatörler\nabla \cdot \mathbf{F} ve \nabla \times \mathbf{F} ölçek çarpanlarını tarafından yerine(στ)koordinatlar ile ifade edilebilir.ortogonal koordinatlar içinde genel formülleri bulunur.

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Bipolar koordinatların klasik uygulamaları kısmi diferansiyel denklemler çözümleridir, e.g., Laplace denklemi veya Helmholtz denklemi,burada bipolar koordinatlar bir Değişkenlerin ayrılmasına izin verir. Tipik bir örnek,olarak the iki paralel silindirik iletkeni çevreleyen elektrik alanını verebiliriz .

3-boyuta uzatma[değiştir | kaynağı değiştir]

Bipolar üç boyutlu Ortogonal koordinatlarn birçok kümesi için temel teşkil eden koordinatlarıdır.Bipolar silindirik koordinatlarda z yönüne izdüşümü ile üretilir. çiftküresel koordinatları bipolar x ekseni, yani odaklar bağlayan eksen, toroidal koordinatlar bipolar koordinatlar döndürülerek üretilen koordinatlardır yukardaki koordinatları döndürerek üretilmektedir.y-ekseni yani odakları ayıran eksendir.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Şablon:Orthogonal coordinate systems